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终于搞清楚了!一面两销和一面两孔的浮动计算!

作者:吴德辉 287 人感兴趣 发表于:2022-10-20 15:30

在做结构设计的时候,设计者往往会采用一面两销配上一面两孔,这是一种非常常见的定位结构,它能够有效限制零件的6个自由度。


而为了追求更高的定位精度和更低的经济成本,一个圆孔(主定位部分)加上一个长腰孔(副定位部分),在现在的定位结构中更容易被工程师们采用,它也能有效限制零件的6个自由度。比如下图:


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图1 一面两销和一面两孔


图1中,黄色底板用一面两销,而灰色的上板就是一面,一圆孔加一个长腰孔。这种结构在零件相互之间装配定位,或者在钣金件的焊接定位工装上经常被采用(比如汽车的副车架定位)。


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动画1 上板和底板的定位


当工程师在设计这种“一面两销和一面两孔”时,为了方便装配操作,往往会在销孔之间留有少量的间隙δ,比如下图:


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图2 销孔之间留有小间隙δ


就是因为这个不得不留的小间隙δ的存在,会给装配件之间的定位精度带来负面影响。比如,会让图1中的上板相对于底板发生随机的“浮动”,见下面动画:


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动画2 两零件间的随机浮动


我们先假定图1中,两个零件定位好后,会被点焊固定。那么动画2中的随机浮动,无法被还原和复位,它对装配是有害的。


因为,它会让底板的3个安装孔,上板的3个安装孔,相互之间会发生“错位”的现象,导致两个零件的安装孔相互之间的“公共有效空间”会变小。


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动画3 安装孔的运动轨迹


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图3 变小的有效空间


见图3,红色的3个圆,就是在发生孔销浮动后,留下的空芯空间,这个空间才是可以用来穿螺栓或销子的“有效空间”。


不管怎样,就是因为孔销浮动,导致实际有用的有效空间(图3中红色的圆)比过孔自身的直径还要小。


所以,当孔销浮动发生后,工程师们更加关心的是,有效空间是多少?或者说,上板安装孔的中心相对于底板安装孔的中心偏了多少(工艺工程师们更加关心这个)?


本篇文章我们就一起来探讨这个问题。还是老套路,本期文章将分3个章节:


  1. 孔销浮动的现象


  2. 孔销浮动的数学模型


  3. 孔销浮动的具体应用


因为篇幅较长,本期文章我们只放送前面两章,最后一个章节我们下一期放送。


本期文章参考了国外学者撰写的相关论文,可能数学味道比较重,大家要有思想准备。但是,我们会结合大量动画和图例,尽量把其中的关系给大家讲清楚。


另外,本期文章主要集中探讨纯粹的孔销浮动,形位公差先不讨论。所以本期文章的假设前提是,每个零件都是刚性理想的。(最终形位公差带来的影响一定要讨论,下一期文章我们会讨论如何嵌入形位公差来综合分析)


在开始讨论之前,我们首先要在装配图中建立两个坐标系(见图4)。一个坐标系是XYZ(蓝色)是建立在黄色底板上,因为底板是不动的,所以我们把XYZ叫母坐标系(或全局坐标系),另外一个坐标系是xyz(红色), 是建立在灰色的上板上的,叫子坐标系(或者局部坐标系)。见下图:


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图4 两个坐标系


图4中的两个坐标系,我们后边会用到(因为零件比较薄,我们会主要用到2维的坐标系XOY和xoy)。


注意,本篇文章对研究基准偏移来说非常重要,对定位精度的研究也非常重要,希望在您耐心看文本期文章后,对您有所启发。


1.    孔销浮动的现象


     本章节我们先来直观的认识一下孔销浮动。


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图5 销孔单边间隙是0.5


见图5,我们先假定主副定位销孔之间的单边间隙都是0.5,这样上板和下板之间就会发生随机的孔销浮动。


孔销浮动主要来源于两个,一个是来自于主定位部分的孔销浮动,一个是来自于副定位部分的孔销浮动。


当然,其他特征(比如3个安装孔)会因为定位部分的孔销浮动,被动地“浮动”。


我们一个一个来感受。


1)主定位部分的孔销浮动


    主定位部分的孔销浮动比较简单,就是一个圆孔相对于一个圆销的随机浮动。


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动画4 主定位孔相对于主定位销的浮动


动画4中,黄色的底板不动,上板在浮动。如果我们仔细观察上板主定位孔的中心,就会发现,该圆孔中心的浮动范围其实是在一个小圆内,这个小圆的半径就是单边间隙δ。


在极限的位置,就相当于主定位孔的中心,可以在一个小圆的圆周上游走。刚刚提到过,这个小圆的的半径就是单边间隙δ,也就是0.5。


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动画5 主定位孔中心的极限运动轨迹


2)副定位部分的孔销浮动


     副定位部分的主要功能是约束零件旋转的自由度,如果销孔之间有间隙存在,那么副定位孔相对于副定位销,就会有“旋转的浮动”,当然不是纯粹的旋转,还夹杂有平移,因为主定位孔在平移,必然会影响到副定位孔。


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动画6 副定位孔中心的运动轨迹


如动画6中显示,副定位孔中心的运动轨迹的形状,相对复杂一些,其形状接近于一个“矩形”。具体见图6:

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图6 副定位孔中心的运动轨迹


      下一章节,我们会具体研究它的数学轨迹。


3)安装孔的浮动


因为定位部分的浮动,导致整个零件都在“抖动”。所以,3个安装孔,也在被动的抖动,我们来观察一下它的运动轨迹。

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动画7 安装孔的运动轨迹


安装孔的运动轨迹会更复杂一些,总体看来有点类似一个“平行四边形”,而且处于不同位置的安装孔,它的运动区域形状都不一样。


大家先来感受一下安装过孔的活动区域,见图7,后边我们会详细解释区域的来源。


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图7 处于不同位置安装孔的运动轨迹


2.    孔销浮动的数学模型


我们从上一个章节直观的感受了孔销浮动的现象。可是,如果要把它量化,就必须要把它的数学关系给它理清楚。


这个过程稍微有点痛苦,但肯定有价值。请大家跟着我的思路慢慢把它的数学关系给它理理清爽。


我们分析的整体思路是,先分析主定位孔的浮动,然后是副定位孔的浮动,最后是安装孔的浮动。


1)主定位孔的运动轨迹


我们现在已经知道主定位孔的运动轨迹,其实是一个圆形的区域。

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图8 主定位孔的运动轨迹


图8显示的是主定位结构中的销孔结构,以及主定位孔中心运动的极限轨迹,直径为2δ的圆。


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图9 主定位孔中心B的浮动区域


图9显示的是主定位孔中心B的活动范围,要注意的是,主定位孔中心B的运动轨迹不仅仅是圆周,还包括在圆以内的区域。它是一个直径为2δ的圆形区域。


我们接下来就来研究,B点和底板主定位销中心O之间的关系。

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图10 B点坐标


见图10,我们先以主定位销的中心O点建立一个坐标系XOY, 再设定两个随机的参数,一个是BO的距离r, 另外一个BO连线和X轴的夹角θ(利用极坐标处理表方便)。


这两个独立的随机参数r和θ决定了B点在圆以内的随机位置。


显然,根据图10,我们知道r和θ的变化范围,r的变化范围在0-δ之间,而θ的范围是在0-2π之间。于是,我们就很容易得出B点在XOY坐标系中的坐标轨迹


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 公式(1)中,因为r和θ是两个独立的变量,同时也是随机的,所以会导致B点的坐标xB和yB也是随机的,而且,B点肯定会在图10中绿色的圆以内。


2)副定位孔的运动轨迹


根据图11中的装配图中所示,我们设副定位孔和主定位孔之间的距离是L(一个已知的值),而且副定位孔和副定位销之间的间隙也是同样δ(0.5),见图11。

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图11 装配图


如图11所示,我们先假设,副定位孔(长腰孔)的中心为C,它相对于黄色的底板,在上下方向(Y方向)上的浮动量为λ,不难得出结论,那么λ的变化范围是(-δ,+δ)。具体见图12,动画8和图13。


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图12 单边间隙是δ


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动画8 副定位孔上下浮动


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图13 副定位孔上下浮动量λ


根据图12,动画8,图13中的分析,我们不难得出C点的Y方向坐标为:


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当然,λ也是一个独立的随机变量。


接下来,我们来求C点的X坐标xc


实际上,副定位孔的运动轨迹稍显复杂,它会受到主定位孔浮动的影响, 它的运动不仅牵涉平移,还有旋转,是一个“复合”的浮动,见动画9。


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动画9 副定位孔的复合浮动


经过动画9中显示的两种合成的复合运动后,我们再来分析副定位孔中心C的轨迹。


见动画10,图14,我们先做一些辅助线,简化后,再来分析里边简单的数学关系。


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动画10 图形简化处理处理


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图14 副定位孔中心的坐标


见图14中的几何关系,显然BVC是一个直角三角形,我们不难得出h:


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再结合公式(1)和公式(2),我写在下边:

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可以得出:


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根据图14,h是直角三角形的直边, L是斜边,根据三角函数,我们就可以轻松算出图14中的旋转角度α:



请大家留意这个旋转夹角α,它很重要,我们后边还要反复用到。


有了旋转夹角α,我们就可以求出图14中的BV长度:


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然后我们就可以轻易得出,图14中的C的X坐标:


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再结合公式(1)和公式(4),我们可以进一步将公式(5)整理成:


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于是我们便整理得出副定位孔中心C,最终轨迹


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其中,公式(6)的α是由下面公式获得:


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 公式(6)表达了副定位孔中心C的轨迹,推导的过程痛苦了一点,但是结果相对简单。实际上,C点的轨迹由3个独立的随机变量构成,一个是来自主定位孔的两个参数,r和θ,另外一个是来自副定位孔的浮动量λ。


3)安装过孔中心的轨迹


这个才是我们的重点。


我们知道了主定位孔中心B的轨迹,副定位孔中心C的轨迹,再来推导几个安装过孔的轨迹及相对容易了。


为了方便说明,我们先在上板建立子坐标系(这里只讨论平面坐标系)。我们把坐标原点建在B点,BC的连线作为x轴,这样零件的子坐标系xoy就建立了,见图15。

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图15 上板和子坐标系xoy


图15中,我们把理论尺寸也标上去,因为这里不讨论零件自身的制造误差,所以我们就可以轻松得出3个安装过孔在子坐标系xoy中的具体坐标,比如说G孔中的坐标就是就是(33,11),写成代数形式:


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 注意,当零件加工好后,每个特征在子坐标系里边里的理论坐标是固定不变的。


而我们更加关心的是,在经历孔销浮动的震荡后,G孔相对于黄色底板的具体位置,或者说G孔在母坐标系里的具体坐标是多少呢?


在前面分析C点的轨迹时,动画9显示了两个零件的相对浮动状况,我们在动画9的基础上,将母坐标系XOY和子坐标系xoy给它建立起来。


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动画11 子母坐标系的建立


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图16 子母坐标系


如果大家仔细观察图16中的两个坐标系,我们会发现两个特点:


     1)我们知道子坐标系的原点B,在母坐标系中的坐标(xB,yB);


     2)我们还知道子坐标系相对于母坐标系旋转的相对夹角α;


知道这两个条件,我们就可以利用旋转加平移实现坐标变换了(如果对坐标变换不理解的小伙伴,建议看本文最后链接的文章《基准偏移7,坐标变换》)。


为了方便大家理解,我把坐标变换公式再一次写在这里,简要做一下说明:


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图17 坐标系变换公式


现在我们要计算图16中,G孔中心相对于底板(母坐标系)的具体位置,就可以直接套用图17中的公式。我们设G点在母坐标系中的坐标为(xG’,yG’), 则有下面关系:


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稍作整理得:


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如果不嫌麻烦,我们再将公式(7)展开成方程组的形式,最终便得到了安装孔中心G的坐标轨迹:

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公式(8)中的一些参数,受到下面条件的限制:

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公式(8)是我们推导到现在得到的结论。


公式(8)看起来牛逼,苦逼的样子,但是,仔细观察,会发现xG和yG是已知的,在本案例中就是(33,11),其余的说穿了就3个独立的变量,r, θ,λ,而且3个变量的范围我们已经很清楚,所以,根据公式(8),我们就能够确定上板G孔中心,相对于下板可能的运动轨迹了。


根据蒙特卡洛的思路(如果您对所谓的蒙特卡洛法也感到懵逼,看本期文章后边的链接文章),我们用软件(甚至Excel),随机产生3种参数r, θ,λ(在各自允许的范围内),产生参数的个数看心情,尽量多吧(建议大于500个),然后再带入公式8,就可以计算出G点在母坐标系中的坐标(xG’, yG’)。


因为输入了500套随机参数r,θ,λ,我们就可以得到500个G点的随机坐标(xG’,yG’)。这样我们就可以观察,在孔销浮动过程中,安装过孔中心G的轨迹。


软件的操作过程,这里不再赘述,大家直接看结果吧:


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动画12 安装过孔中心G的轨迹


大家如果仔细观察动画12中,安装过孔中心的轨迹,就会发现,在孔销浮动时,安装过孔中心所经历的区域类似一个“平行四边形”的区域。


而且,安装过孔的位置不同,经历的区域形状也是不一样。


日本学者Shinya SUZUKI 和Noboru WAKAYAMA把针对不同坐标位置的过孔中心,所经历的区域都描述出来,我就将他们的图直接放在下边,供您观赏:

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图18 安装过孔中心轨迹


仔细观察图18中的图形,我们会发现距离主副定位孔越远的地方,过孔中心浮动的范围就越大。见图19中最右上角红圈处的那个夸张的图形。


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图19 不同位置特征的浮动轨迹


而距离主副定位孔(尤其是主定位孔)越近的地方,过孔中心浮动的范围相对偏小(但是最小的也比主定位孔中心浮动的圆形区域要大)。见图19中绿圈部分的区域。


很多定位结构中,有经验的设计工程师在设计定位销,或者定位孔的时候,会故意把定位特征之间的距离拉得很开。


您,现在理解其中的原因了吗?


到这里,我们还不能停下,我们还需要对安装过孔的轨迹进行放大研究。


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 图20 安装过孔中心的轨迹


图20显示的是,在孔销浮动的过程中,安装过孔中心点的浮动范围(图中灰色区域,截取的是文献原图),它是一个类平行四边形区域。


保守的工程师们更加关心的是,安装过孔中心的浮动范围,x方向浮动的最大范围xrange是多少?y方向浮动的最大范围yrange是多少?


对于机加工,或焊接来说,这就是定位误差;对于基准偏移来说,这个就是补偿量(以后在详细讨论这个话题)。


图20中的xrang和yrang,我们利用公式(8)是可以推导出来的。因为整个推导过程比较复杂,还需要利用偏导和近似处理之类的数学知识,整个过程我就不再这里啰嗦了,我们还是直接享用专家们的学术成果吧:

   

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上式中:


     1)X,Y表示安装过孔在子坐标系(基于圆孔和长腰孔建立的坐标系)中的理论坐标;


     2)δ表示定位孔和定位销之间的单边间隙(主副定位特征间隙都是δ);


     3)L表示长腰孔中心(副定位孔)到圆孔中心(主定位孔)的距离;


     4)θ的值由公式θ=arctan(Y/L)得到,它也是产生极值的条件。


根据图20中图形的对称特性,我们把安装过孔中心处理成X方向和Y方向的线性尺寸:


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公式(10)中,


     1) x,y表示安装孔的中心,因为孔销浮动,在母坐标系中,在X方向和Y方向的实际坐标范围;


     2) X,Y表示安装孔中心在子坐标系中的理论坐标;


     3) xrange,yrange则如公式(9)中表达的,安装孔中心因为孔销浮动的变化范围。


这样,如果我们要计算一维的尺寸链,就可以套用公式(10)了。


好了,本期的文章先到这里,希望本期文章对您有所帮助。


下一期文章,我们再来探讨基于本期文章所提供理论基础的实际应用。


本期小结


本期文章的主要内容,是研究一面两销配一面两孔(其中一孔是长腰孔)的定位结构中的孔销浮动,以及孔销浮动带来的影响。


第1章节描述了定位特征之间的间隙存在,会导致孔销浮动的产生,孔销浮动会在主定位特征之间,副定位特征之间都有产生,从而导致整个零件相对另外一个零件都在不断的“浮动”。


第2章节我们从数学的角度出发,探讨了主定位孔浮动的数学轨迹,副定位孔浮动的数学轨迹,还有其他特征被动浮动的数学轨迹,为我们后期做公差分析奠定了理论基础。


 【后记


在我过去的设计和顾问咨询经历中,经常会遇到孔销浮动的问题,搞清楚孔销浮动,尤其是多个孔销浮动的数学关系一直是我的想法。虽然VSA,3DCS等公差分析软件会给我们一个准确的结果,但是却没法搞明白其中的缘由。


直到有一天我看到日本长野大学(Nagano College)的学者Shinya SUZUKI 和他的合作者在2019年发表的关于孔销配合的论文,论文中详细描述了孔销浮动的数学关系。而且这位仁兄,不仅仅研究了圆销对长腰孔的数学关系,还那研究了圆销对圆孔,菱形销对圆孔的数学关系,对我启发很大。


所以,需要申明的是,本期文章的理论原型并非我个人原创,我只是传播者。


当然,还需要说明的是,上面的理论并非完美,还有很多问题亟待解决:


    1. 既然其它特征的被动运动轨迹是一个类平行四边形区域,一般极值点会发生在4个角上,但是如果我想知道特定方向的变化范围,如何求得?比如图21中,我想知道N方向的极值点A,如何求呢?因为我们在分析轮廓的时候(比如缝隙,面差,均匀度),实际轮廓的法向很有可能并非X向,也非Y向, 而是某个特殊的方向。


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图21 特定方向的极值


    2. 上述理论求得的x,y的变化范围是基于极值理论,而对于现实生产设计指导意义最大的还是基于概率统计,如何结合概率统计来分析呢?这也是一个需要解决的问题。


    最后,要感谢我的学生,江苏理工学院在读研究生汤丽媛的协助,她帮我筛选和下载了不少论文,为我提供了有效的学术参考。


    如果您对本文有任何不同的看法,或者建议,欢迎在留言区给我们留言!


参考文献:

  1. Shinya SUZUKI and NoboruWAKAYAMA,设计工学681,Japan Societyfor Design Engineering,2019

  2. Shinya SUZUKIa, Tohru KANADA,16th CIRP Conference on Computer Aided Tolerancing,ScienceDirect, 2020

  3. 同济大学数学系 高等数学第七版上下册 高等教育出版社 2008

  4. 于靖军 刘辛军 丁希仑 机器人机构学的数学基础 机械工业出版社 2018

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