OLS和TLS, 三坐标采用的是哪种最小二乘法？

各位小伙伴，2026年新年好！

三坐标在拟合一条直线或者一个平面的时候，最小二乘法是常见的拟合方法。在我们国家标准或者ISO标准中，对被测要素或理想要素（甚至基准）的拟合，也有用最小二乘法拟合的规范，比如下图：

图1 理想要素用最小二乘法拟合

图2 被测要素用最小二乘法拟合

可是，在用最小二乘法拟合直线或者平面的时候，最小二乘法常见有两种方法：

普通最小二乘法（ OLS，Ordinary Least Squares）
总体最小二乘法（ TLS，Total Least Squares）

那么三坐标在拟合直线或者平面的时候，采用的是哪种最小二乘法呢？

今天我们就来讨论一下这个问题，并详细介绍一下总体最小二乘法（TLS）的计算方法。

今天的文章，数学味道比较重，有不少线性代数的内容，实在没有耐心看的小伙伴，在这里我直接给出结论：三坐标采用的是总体最小二乘法（TLS） , 并亲测有效。我已经做成EXCEL表格（仅针对直线），有兴趣的小伙伴可以直接跳到最后，联系助理老师Judy老师（本文最后有她微信联系方式），她会发您TLS和OLS的EXCEL表格。

今天的内容分为3部分：

什么是OLS和TLS;

2. TLS的计算公式；

3. OLS和TLS的应用场景；

PART 01

什么是OLS和TLS?

我们以直线为案例，来理解OLS和TLS。

现在，我们已经采集了一堆离散的点（P1-P5），见下图，我们要将这些点，采用最小二乘法拟合成一条直线（y=kx+b）。

图3 一堆离散的点

对最小二乘法熟悉的小伙伴都应该知道，最小二乘法的核心思想是“残差的平方和最小”，可是问题是，哪个残差的平方和最小呢，或者说哪个方向的残差平方和最小呢？这是问题的关键。

OLS（普通最小二乘法），在它的眼里，上面的5个离散的点Pi(xi, yi)中，自变量xi是值得信任的，也就是的xi坐标值是精确的或者可控的，因变量yi的坐标是存在测量误差（或者观察误差）的，不值得信任的。

而在TLS(总体最小二乘法)看来，上面5个点Pi(xi, yi)中，xi和yi都是有测量或者观察误差的，都不值得信任。

所以区别来了，我们先说OLS（普通最小二乘法）.

OLS既然认为y坐标不值得信任，那么它就要权衡，尽量找到一条直线 y=kx+b，使得y方向的的残差di（或者说估计偏差）的平方和最小，见下图：

图4 y方向的残差di

见上图中红色的d1-d5, 残差的平方和D, 即为：

D=d1² + d2² + d3² + d4² +d5²

所以OLS的目的是，寻求合适的k和b, 使得上面的D值最小化。见下面动画：

动画1 OLS的拟合原理

上面的动画中，只要人们能够寻求一个合适的k和b, 使得D值最小，这个时候，这条OLS最小二乘直线，就被拟合出来了。

关于OLS的公式和推导方法，德辉学堂往期的公众号文章已经详细讨论过这个话题，有兴趣的小伙伴，可以点击文章最后的链接，这里就不再赘述。

我们再来看TLS（总体最小二乘法）。

因为在TLS看来，观察点P的x值和y值都不可信，这个时候，它的残差就不再是单纯的y方向的偏差，同时也考虑到x方向的偏差。

所以对于TLS来说，我们把观察点P到估计直线的垂直距离d 定义为残差。见下图：

图5垂直方向的残差di

见图5中红色的d1-d5就是TLS中定义的残差。

同样的逻辑，残差的平方和为：

D = d1² + d2² + d3² + d4² +d5²

TLS的目的，就是在寻找合适的k和b, 使得D值最小。见下面动画：

动画2 TLS的拟合原理

如动画2中显示，只要我们能求出合适的k和b, 使得残差平方和D值最小，这样对应的k和b，就能确定这条直线了。

稍微总结一下，OLS和TLS的目的，都是为了使得残差d的平方和最小, 只不过两者残差的方向不一样。以直线为例，OLS的残差是y轴方向，而TLS是垂直于直线方向。

同样的原理，可以扩展到平面，超平面或者更高维度，这里就不再啰嗦。

PART 02

TLS的计算公式

OLS的计算公式在我之前的公众号文章中讨论过，这里不再讨论。

那么TLS的公式是什么呢？我们接下来就来推导一下TLS的公式（有恐数学症的小伙伴可以直接跳过）。

假设有n个离散的点Pi(xi, yi)，也就是我们用三坐标，在零件表面上测量出来实际的坐标点，现在我们准备采用TLS（总体最小二乘法）把它们拟合成一条直线。

为了方便推导，我不采用斜距式来表达直线，用一般式来表达直线：

ax+by+c=0 (1)

上面的等式（1）中，因为等式两边可以任意除以一个不为0的常数，所以，我们还可以做一个限制，假设：

为啥这样假设？因为这样做，在计算点到直线距离的时候，可以把分母去掉，有利于下一步的推导（同时该限制也是避免残差的平方和趋向无穷小）。

根据点到直线的距离公式，这样点Pi(xi, yi)到公式（1）中直线的距离di(即残差)为：

再对（3）式求平方得（平方后，绝对值符号可以去掉）：

进一步可以得出残差的平方和D为：

大家不要被公式（5）吓到，那个侧翻的M，它就是一个求和公式而已。

注意上面的公式中, xi, yi都是已知的测量坐标值，a,b,c是未知的。我把公式（5）再转化一下：

现在TLS的任务，就是在函数Q(a,b,c)中，求合适的a,b,c，使得Q（a,b,c）或者D值最小（还记得那个“平方和最小”的宗旨吗？）。

我们把问题转化成了一个求极值的问题。

接下来用到大学的数学知识，先想办法消去C。我们先对C求偏导，并令其为0（因为极值会发生在这个位置）。

等式（7）整理可以得：

再整理有：

我们知道 x和y的平均值公式：

则公式（8）可以整理成：

还记得那个公式（6）么，我写在这里：

把公式（9）代入公式（6），可以得到：

我们再令：

公式（10）可以整理成：

注意，上面的公式不管怎么折腾，大家记住，下标是i的量都是已知的（它们是观察数据），比如ui, vi都是已知值，x和y的平均值也是已知的，他们是由实际的坐标值倒腾过来的，a和b才是我们真正关心的（它们是一个未知量）。

我们的问题就转化为，求的合适的a,b，使下面公式中D最小：

接下来引入矩阵，因为我们最终要用到矩阵的二次型来解决这个极值问题。

我们再设：

则公式（11）可以变成：

上式中 w^T 中的T表示矩阵的转置。因为 w^T *zi 是一个常数，不是一个矩阵，可以任意转置，所以有：

w^Tzi=（w^Tzi)^T =zi^T *w (13)

再将（13）代入（12）则可以得：

对于求和公式（14）来说，w或者w^T 都是常数，而且和观察点i无关，可以单独提到求和公式外边，于是将公式（14）再整理可得：

在公式15中，括号里的那一坨是矩阵，先整理括号里的一坨：

上面这一坨矩阵看起来吓人，其实很简单，他里边都是常数，无非就是一个2x2的一个对称矩阵了，没啥吓人的。

为了简化，我们再令：

那么等式（16）可以写成：

再说一遍，等式（17）中的矩阵，我们叫系数矩阵，是由常数构成，是由实测的坐标值倒腾出来常数矩阵，里边没有可怕的变量。

再将（17）中的矩阵带入（15），可得：

我们再来观察一下公式（18），其中的a,b是未知数，当然有个约束前提（a²+b²=1），中间的矩阵是一个系数矩阵，而且看这个架势，这不是大学线性代数最后一章，那个特别莫名其妙的二次型矩阵么？

到线性代数最后一章的时候，矩阵的特征值，特征向量，矩阵的二次型，合同矩阵之类的概念，把人搞得云里雾里。

事实上这些概念，在实际工作中非常有用，尤其是在算极值的时候非常有用。

公式（18）中，我们从右往左看，中间的矩阵和向量（a, b）相乘，意味着把向量（a,b）经过线性变换成一个新向量（这个新向量长度和方向都有可能会发生改变），然后这个新向量再和原向量（a, b）进行内积。

然后，我们的问题是，在模长为1（因为a,b的平方和开根号为1）的所有向量中，哪个倒霉的向量，经过公式（18）的转换，结果最小？

稍微直观的解释一下，我把公式（18）整理一下, 用(x,y) 代替（a,b），用z代替D，注意，这里的z就是我们前面讲的平方和这个值，现在我们要看它的最小值在哪里:

公式（19）实际上是一个椭圆的抛物面（有兴趣的小伙伴，展开就可以发现），见下图红色抛物面，我们现在在 x²+y²=1的约束条件下，寻求z的最小值。

几何上解释，我们用一个圆筒: x² +y² =1的一个圆柱（见下图蓝色的圆柱），和这个椭圆抛物面去交，交出来的最低点L（见下图黄点），这个时候最低点L对应的坐标（x,y）就是我们寻求的，满足条件（x² +y² =1）下，残差的平方和最小的点。

图6 最低点L发生的位置

图6中，我们可以发现最低点发生的位置是L点，那么L点发生在哪个位置呢？上图中红色的是一个标准的椭圆抛物面，凭直觉，我们可以发现，这个L点肯定发生在椭圆的大径方向上。

我们垂直于z轴做一系列平面，和红色的抛物面进行相交，得到一系列椭圆，我们再来观察这个最低点L发生的位置：

图7 最低点L发生的位置

见图7，如果我们能找到L点处，得到对应的坐标值(a,b), 然后再计算出c, 我们想要的TLS直线就被拟合出来了。

如何计算(a,b)?

这里的关键点就在于公式（19）中的系数矩阵！我再把公式写在下面：

约束条件: x²+y²=1

我们令：

上面A由Sxx, Syy和Sxy构成的系数矩阵，它有一系列的特点。因为篇幅原因，不能给出推导过程，这里只能说结论：

对于对称矩阵来说，一定有实的特征值；
公式（19）中取得最小值时(约束条件：x²+y²=1），（x,y）一定在系数矩阵的最小特征值对应的特征向量方向上，也就是说向量（a, b）, 一定是最小特征值对应的特征向量集中的一个，它一定在椭圆的大径方向上。见图（8）

图8 特征向量
现在的关键点在于，要计算出系数矩阵A的特征值和特征向量。再回到大学时代吧，先令特征值为λ，则矩阵A的特征多项式为：
展开整理可得：
解一元二次方程，两个特征值为：
最小特征值为：
好了，再来求特征向量 p ，我们假设特征向量p为(a1, b1)^T , 因为根据矩阵A的特征值和特征向量λ的关系，有以下公式：
A p =λmin p
则有:
打开矩阵可得等式：
取第一个方程：
设 b1=1(因为特征向量是一个集合，不是唯一的，其中元素可以随便设，当然不是0，只要其它元素等比就行)，则：
然后将（a1,b1）归一化（就是单位化，就是使得a² +b² =1）：
然后再利用公式（9），可以计算出c值。
好了，直线方程ax+by+c=0中的a,b,c就这样被痛苦的给弄出来了，终于，欧了。
整个计算过程比较繁琐，容易迷失，我们再快速梳理一下整个主要计算过程：
主要计算过程总结：
1. 计算均值：
2. 中心化数据：
3. 计算矩阵元素：
4. 构建系数矩阵A ：
5. 计算最小特征值：
6. 求特征向量（未归一化）或等价形式：
7. 归一化法向量：
8. 计算截距：
9. 得到直线方程：
整过计算过程，我已经弄成EXCEL表格，只要输入原始数据，自动会生成直线。如果对推导过程不感兴趣的小伙伴，可以联系助理老师索要Excel表格。

PART 03

OLS和TLS的应用场景

我们先来和三坐标做一下比较。
我用EXCEL表格，将一堆离散的点拟合成直线，然后再计算每个点到该直线的距离，三坐标做同样的操作（因为三坐标里找不到直线方程的表达式），我比较了海克斯康, 蔡司，OGP，国产POWERDMIS等软件的计算结果，结果一模一样。

图10 Excel的计算结果
图11 海克斯康计算的结果

图12 蔡司计算的结果

图13 OGP计算的结果

图14 国产软件Powerdmis计算的结果
所以我最终的结论是，关于最小二乘法的拟合，三坐标采用的是TLS，也就是总体最小二乘法。
或许有小伙伴会问，我怎么知道应该采用哪一种最小二乘法呢？
这里涉及到最小二乘法OLS和TLS两种方法的应用场景。简单总结一下就是：
1. 若自变量是人为设定 / 精确记录的可控变量（如预算、温度、配比），或者自变量x的误差远远小于因变量y的误差，优先用 OLS。
2. 若自变量与因变量均含显著测量误差（如坐标测量、坐标转换），则切换至 TLS。
举个例子，比如我们知道一家公司，在某个平台每个月投放的广告金额x和销售额y的数据，我想知道广告金额x和销售额y之间线性关系，因为自变量，投入的广告金额x是精确可控的，而销售额y受各种因素的影响，误差会比较大，这种拟合计算就应该采用OLS。
而三坐标在采点的时候，因为x和y方向（或者z方向）的坐标值都会有误差，所以在拟合的时候，应该采用TLS，如同本案例所示。
好了，本期文章的内容就到这里了，希望对您有所启发。
【内容总结】
本期文章讲了3节内容，第一节内容介绍了两种最小二乘法OLS和TLS的拟合原理；第二节内容详细介绍了TLS的具体计算和公式推导；第三节内容将TLS的计算结果和各大三坐标品牌软件的计算进行了比对，并介绍了OLS和TLS的各自的适用情况。
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