斜孔位置度计算的数学原理是什么?

作者:吴德辉
时间:2024-05-14
类别:GD&T系列
观众:212
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冰衡咨询GD&T系列咨询师吴德辉老师原创文章分享!

如果让您计算一个常规孔的位置度,相信不会太难,很多有经验的小伙伴马上就会想到那个经典的公式,见下图:

图1 位置度计算的经典公式

     图1中的公式,非常常见,也容易理解(假设您对常规的位置度计算原理还不清楚,建议您仔细看看上图,并仔细琢磨哦)。

     可是,如果有一天,我们遇到的被测孔的轴线,它的方向和坐标系的坐标轴既不平行,也不垂直,呈现某个夹角(也就是我们所说的斜孔),那么该斜孔的位置度该如何评价呢?

     比如,下面这个图纸:

图2 斜孔的位置度

    图2的标注,就是对一个斜孔进行位置度控制。当零件被加工好后,三坐标工程师对实际零件进行测量,测量的结果如下:

    在基准坐标系xyz中,见图3,该被测孔的理论质心点P=(40.33, 13.5, 7.5),理论单位矢量为n0=(0.5,0,0.866), 已知实际提取中心要素(假设是ISO标准)上的最远点为P1点,而且已知该点在基准坐标系中的坐标为P1=(43.43,13.56,12.7),求该斜孔的位置度实测值是多少?

图3 求斜孔的实际位置度?

     上面的题目,实际上是我们进化群里出的一期题目,很多有经验的测量工程师都卡在这里,不知道该如何处理。

     要计算斜孔的位置度,它的评价原理比较简单,因为位置度的评价原理,都是“定位最小区域法”。本期题目的难点在于,后边计算的数学方法。

     所以,本期文章的内容其实就是在普及几个基本的数学知识点,它有助于我们理解几何误差计算的数学原理(数学好的小伙伴可以略过本文)。

     还是老套路,本期的题目我们分为3个章节来讲解:

    1. 什么是矢量?

    2. 单位矢量有什么好处?

    3. 斜孔的位置度如何计算?

    本期的内容数学味道会比较重,但是都很基础,如果您感兴趣,建议您耐心看完。

 1. 什么是矢量?

    矢量这个概念我们初中就学过,一个有大小,有方向的量就是矢量。比如我们学过的力,速度,加速度,位移等都属于矢量。见下图:

图4 常见的矢量

     我们课本上对矢量有个特点没有描述,那就是矢量本身隐含两个点,一个点是S点(Start Point), 一个点是F点(Finish Point), 而矢量的方向是从S点指向F点的。

动画1 矢量是相对量

     从几何上讲,矢量不仅有大小(即长度,或者叫模),也有方向,这个方向是一个相对的关系,是终止点相对于起始点的一个量。

     这个概念,我们在做公差分析的时候,也会用到,希望后边有机会和大家来探讨这个话题。

     矢量还有很多重要的性质,我们现在来一一认识一下  。 

1) 矢量坐标

      我们平时学过点坐标,比如某个点P1的坐标是(x1, y1, z1), 在坐标系中的含义见下图:

图5 P1的点坐标

     点坐标表达的是P1点在坐标系中的位置,或者说P1点分别在xyz坐标轴上的投影。

     注意,不同位置的点,它的坐标值是不同的。

     矢量也可以用坐标来表达,我们叫矢量坐标。我们刚刚讲过,矢量是指终止点F相对于起始点S的一个量,而所谓的矢量坐标,指的是将矢量的起始点S移到坐标系的原点O,然后终止点F在坐标系中的坐标,就是该矢量的坐标, 见动画2.

动画2 矢量坐标

     注意,在坐标系中,因为矢量是个相对量,大多数时候人们不关心它的位置,只关心方向(朝向),所以,矢量在坐标系中可以任意平移(不能旋转)。

2) 矢量的表达

     矢量应该怎么表达呢?矢量可以用坐标系的方式来表达,比如动画2中的矢量,我们可以表达成n1=(x1, y1,z1).

     我们还可用坐标分解式(代数式)来表达。我们知道,在坐标系xyz中,每个坐标轴都有自己的单位矢量,我们叫i,j,k, 见下图(不了解这个概念的小伙伴,在公众号德辉学堂里搜相关文章,或者点击本文后的链接可以查看)。

图6 坐标轴的单位矢量

     图6中,如果大家仔细观察三个坐标轴的单位矢量i,j,k,我们会发现,这3个单位矢量有个特点,那就是他们3个线性无关,也就是说这3个单位矢量,其中两个矢量无论如何线性组合,相加,相减,或者乘以一个常数,都无法表达成第3个矢量,上学那会儿叫线性无关。

     线性无关的矢量有什么好处?好处是他们可以张量成一个空间。我们说人话,就是三维空间中的任何一个矢量,我们都可用i,j,k的线性组合来表示。

     比如说,我们前面提到的矢量n1=(x1, y1, z1), 可以表达成:

n1 = x1i+y1j+z1k

     上面的公式中,本质上就是3个矢量相加。注意,当我们把一个矢量乘以一个常数时,相当于把这个矢量的长度放大或者缩小了常数倍,矢量的方向不变。

     从几何上解释,如下动画所示(这里,矢量的相加,我们用了平行四边形法则)。

动画3 矢量的坐标分解式

     对矢量的表达,我们可以这样理解:

n1 = x1i+y1j+z1k= (x1, y1, z1)

     矢量表达成坐标分解式有什么好处?它最大的好处可以进行相关的运算,像代数一样,比如加法,减法和点乘,后边我们再来讨论这个话题。

3) 矢量的模(长度)

    矢量的模表示矢量的长度。我们仔细观察一下下面关于矢量的图形:


图7 n1矢量在坐标系中

     不难看出,图7中绿色的n1(x1, y1,z1)矢量的长度,实际上就是一个长方体的斜对角线的长度,而这个长方体的长宽高,正好是x1, y1, z1。

     所以,矢量n1的长度为:

4) 矢量的加减法

     如果我们利用坐标分解式,矢量的加减法就会很容易。假设:

n1=x1i+y1j+z1k,n2=x2i+y2j+z2k,

     如果n3=n1+n2, 那么n3的结果为:

     n3=n1+n2

        = (x1i+y1j+z1k)+(x2i+y2j+z2k)

        =(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k

     举个例子吧:

     假设a=2i+3j+4k, b=5i+6j+7k, 如果c=a+b, 求c?

    解:c=a+b

        =(2+5)i+(3+6)j+(4+7)k

        =7i+9j+11k

     注意,理解矢量加法的算法后,还需要理解矢量加法的几何含义,见下图:

动画4 矢量加法的几何含义

     仔细观察上面的动画,我们会发现,矢量加数之间总是首位相连的。我们在用矢量法计算尺寸链的时候,也会用到这个特点(红色的就相当于封闭环)。

     废话少说,我们再来理解矢量减法的计算公式,假设:

n1=x1i+y1j+z1k, n2=x2i+y2j+z2k,

     如果n3=n1-n2, 那么n3的结果为:

     n3=n1-n2

        = (x1i+y1j+z1k)-(x2i+y2j+z2k)

        =(x1-x2)i+(y1-y2)j+(z1-z2)k

     是不是So easy?

     还是来举个例子,假设有两个矢量:a(2, 3, 4), b(5,6,7), 求a-b?

     根据上面提到的公式,显然有:

a-b=(2-5, 3-6, 4-7)=(-3, -3,-3)

     我们还是来看一下矢量减法的几何意义:

动画5 矢量减法的几何含义

     要稍微提醒的是,矢量的减法,它是从减数指向被减数。仔细观察上面的动画,n2和n3首尾相连,显然有n1=n2+n3,然后可以得出n3=n1-n2。这一点大家不要弄错,如果弄错了,我们会得到一个反方向的矢量。

5) 矢量的点积(数量积或者内积)

     矢量不仅有加减法,还有乘法。乘法又有两种,一个是点积,一个叫叉积,本期文章重点讲点积。

     先来看一个初中的物理题目:已知一个物体M在力F的作用下,位移为S,求该力作的功?

图8 力在某个位移方向上做功

     图8中,力和位移有一个夹角θ,根据初中的知识点,功的计算公式如下所示:

W=|F|*|S|*cos(θ)

     上面的公式中,显然表达的是力F在S方向上的投影(乘以一个余弦cos(θ))和S的乘积,见下图。

图9 功的计算公式

     图9中的公式,相信各位小伙伴都不陌生。其实,功的计算我们还可以直接采用矢量点乘的方式来表达:

W=F · S = |F|*|S|*cos(θ)

     从上面的公式中,我们可以看出来,两个矢量的点乘(中间有个点,叫点乘, 中间有个X, 叫叉乘),它的结果是一个标量(功没有方向),它的大小等于每个矢量的模长相乘,再乘以两矢量之间夹角的余弦。下面是一般式:

n1 · n2 = |n1|*|n2|*cos(θ)        (1)

     注意,公式(1)是两个矢量点乘的公式,非常重要,它得到的结果是一个没有方向的标量(不是矢量),大家要记住。

     我们仔细观察公式(1), 思考一下它的几何意义后,还可以得出一个结论,所谓矢量的点乘,它是将一个矢量投影到另外一个矢量上后,该投影的长度,再乘以后者的长度。这样说有点拗口,见下图:

图10 将n2投影上n1上

图11 将n1投影上n2上

     练习 前面讲过,单位矢量i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)请问,i · j=?  i · i = ?, i · k=?

     解:因为单位矢量i,j,k的模长为1,i和j的夹角是90度(余弦为0),i和i的夹角是0度(余弦为1), i和k的夹角是90度(余弦为0), 代入公式(1)所以我们可以轻松得出:

i · j = 0

i · i = 1

i · k = 0

     我们还可以进一步得出一个结论,针对三个坐标轴的单位矢量ijk, 如果我们任意排列组合抽出两个,进行点乘,可以得出一个结论:

     单位矢量相同,结果为1:

i · i = 1

j · j = 1

k · k = 1

     如果单位矢量不同,结果为0(因为垂直,投影长度为0):

i · j = 0

i · k = 0

j · k = 0

     我们把上边这个特点叫“同1异0”, 后边我们在推导的时候还要用到这个特点。

     在前面的公式(1)中,我们如果要计算两个矢量点乘的结果,还需要知道两个矢量的夹角θ,非常麻烦,不利于计算。

     如果我们使用矢量坐标或坐标分解式来表达矢量,计算两个矢量的点积就会很轻松。

    已知 n1=x1i+y1j+z1k, n2=x2i+y2j+z2k, 求n1·n2?

    显然有:

 n1·n2 = (x1i+y1j+z1k)·( x2i+y2j+z2k)

     上面的公式看起来很庞大,苦逼,无奈的样子,如果我们耐心把上边的括号打开,一个一个乘进去,再利用“同1异0”的特点,我们可以得出一个惊天大瓜:

n1·n2 = x1*x2+y1*y2+z1*z2           (2)

     就这?

     是的,就这。非常简洁。

    趁热打铁,我们赶紧利用公式(2)做个练习:

    练习 已知n1=(1,2,3), n2=(4,5,6), 求n1·n2?

     解:根据公式(2)

n1·n2=1*4+2*5+3*6=32

    如果利用Excel计算,可以用函数sumproduct()来实现。比如:

n1·n2=Sumproduct(n1,n2)

     有兴趣的小伙伴,赶紧用Excel玩一下。

     公式(2)也非常重要,我们通常利用公式(1)和公式(2)来求两个矢量之间的夹角:

     这个和我们今天的主题没有关系,有兴趣的小伙伴可以单独深入研究。我们继续往下走。

2. 单位矢量有什么好处?

     除了测量软件,在其它软件上,比如公差分析软件,3D造型软件,我们也经常看到单位矢量这个概念,它有什么好处呢?我们现在就来认识一下单位矢量。

     在第一章节,我们就学过单位矢量,比如ijk就是沿着三个坐标轴xyz方向的特殊的单位矢量,它的最大特点就是该矢量的模长为1.

     我们来看一下一般的单位矢量,见下图:

图12 单位矢量n0

     图12中,如果n0是一个单位矢量,根据单位矢量长度为1的特点,则有下面的关系:

     如果我们希望求出该单位矢量和x轴的夹角余弦cos(a), 从图12中不难看出:

     同理,我们不难得出,该矢量和xyz轴的各自的夹角余弦:

    所以有些资料介绍,单位矢量n0可以表示为(cos(α), cos(β), cos(γ)),其实也就是(x0, y0, z0)了。

     单位矢量有什么好处呢?

     结论 任何一个矢量和单位矢量的点乘,其结果等于该矢量在单位矢量上投影的长度。

     这,就是单位矢量最大的好处之一,可以用来算投影的长度。

    上面这句话如果没有吃透的小伙伴,建议再看一遍。

     我们快速证明上述结论,我们再调出公式(1):

n1 · n2 = |n1|*|n2|*cos(θ)    (1)

     将公式(1)中的n1换成单位矢量n0, 我们得到以下结果:

n0 · n2 = |n0|*|n2|*cos(θ)

    又因为n0是单位矢量,长度为1,即|n0|=1,所以有:

n0 · n2 = |n0|*|n2|*cos(θ)= |n2|*cos(θ)=T  (3)

     上面公式的几何意义,见下图:

图13 单位矢量和投影T

     也就是说, 如果我们知道一个矢量n和单位矢量n0,我们就可以轻松算出矢量n在单位矢量n0上的投影长度T。

    我们再进一步把结论整理成一个“投影定理”:

    已知矢量n1的矢量坐标为(x1, y1, z1),单位矢量n0的坐标为(x0, y0, z0), 则n1在n0上的投影长度T为:

T=n1·n0 = x1*x0+y1*y0+z1*z0    (4)

     注意公式(4)也非常重要,我们在计算位置度时要用到。

    例:请计算矢量n1(5,7,9)在单位矢量k(0,0,1)上的投影长度T。

根据公式(4),T=n1 · k

                   =5*0+7*0+9*1

                    =9

     上面的计算确实无聊,根据矢量的定义,n1(5,7,9)在z轴(单位矢量是k)上的投影长度当然是9,但这也间接的证明了这个公式的正确性。

     好了,到这里,该铺垫的已经铺垫了,我们继续往下走。

3. 斜孔的位置度如何计算?

     有了充分的理论铺垫后,我们现在就可以计算斜孔的位置度了。我再把本文开头的题目放在这里:

图14 图纸标注

     三坐标测量的信息如下图所示:

图15 三坐标测量原始数据

     在开始计算之前,我们稍微扯一下位置度的评价原理。再说一遍,所有位置度的评价原理都是定位最小区域法,斜孔的位置度也不例外。见下面动画:

动画6 定位最小区域法

     见动画6中显示,定位最小区域的直径D,就是位置度的实际测量值,只要我们能够计算出D值,结果就出来了。

     我们再把图15中的问题提炼成为几何问题,见下图:

图16 提炼后的几何问题

     图16中,我们将单位矢量n0的起始点S固定在质心点P上,然后,只要能求出最远点P1到n0的距离,再乘以2,就可以得到实测位置度D值。

     我们现在相当于在作一个几何题,做好一系列的辅助线后,图示如下:

图17 计算位置度D

     见图17,我们先连接PP1, 构造一个矢量PP1, 然后把最远点P1点向单位矢量n0作投影,得到垂足P2。显然,P1P2距离的2倍就是位置度的实际测量值。即:D=2*|P1P2|.

    现在的问题是,如何求P1P2的长度?

    图17中,PP1P2是一个直角三角形,|PP1|这个斜边的长度容易算出来,如果我们能计算出PP2的长度,再利用勾股定理,就可以计算出|P1P2|了。

     我们先把原始数据放在这里:

图18 原始数据

     先构建矢量PP1(注意,原点O指向该点形成矢量,其矢量坐标,就等于该点的点坐标)。

     PP1=OP1-OP(O表示坐标原点)

     =(43.43,13.56,12.7)-(40.33,13.5,7.5)

     =(3.1,0.06,5.2)

     根据上面的坐标,利用立方体的斜对角线,平方和开根号那个公式,我们很容易算出:

     |PP1|=6.054。

     再根据“投影定理”,我们可以计算出:

     |PP2|= PP1·n0

    = (3.1,0.06,5.2)·(0.5,0,0.866)

   =3.1*0.5+0.06*0+5.2*0.866

   =6.053

     再根据勾股定理可以得出:     

    D=2*|P1P2|=0.208

     欧了。

     事实上,我自己把计算过程做成一张Excel表格(有兴趣的小伙伴可以加我微信索要),计算的原始数据如下:

图19 计算原始数据

     内容到这里就完了,希望本期对您有所启发。

【内容总结】

     本期内容我们主要讲了斜孔位置度计算的数学原理。

     首先我们讲了矢量的特点,矢量坐标,矢量的模,加减法,点乘,然后又讲了单位矢量的好处,比如那个投影定理,这些都是我们上学那会儿学过比较基础的知识。最后再利用最小定位最小区域法,计算斜孔的位置度。

     本质上讲,本期内容就讲了一个数学知识点,如何计算空间中的一个点到一个空间直线的距离。

     本期的内容主要还是数学关于矢量的一些知识点。其实, 为了算最远点P1到单位矢量n0的距离|P2P1|, 我们还有更加简洁的方法,那就是利用单位矢量的叉乘,比如: |P2P1|=|PP1xn0|, 直接得出结果,但是矢量的叉乘计算不太容易,要用到行列式或者反对称矩阵转化处理,解释起来更加痛苦。

     所以本期文章不得不迂回解释,如果您还有更好的处理方式,欢迎在本期文章下面给我们留言哦。

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